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Un exemple de test du chi carré pour une expérience multinomiale

Un exemple de test du chi carré pour une expérience multinomiale

Une utilisation de la distribution du chi carré est l'utilisation de tests d'hypothèses pour des expériences multinomiales. Pour voir comment fonctionne ce test d'hypothèse, nous allons étudier les deux exemples suivants. Les deux exemples suivent les mêmes étapes:

  1. Former les hypothèses nulles et alternatives
  2. Calculer la statistique de test
  3. Trouver la valeur critique
  4. Décider de rejeter ou non notre hypothèse nulle.

Exemple 1: une juste pièce

Pour notre premier exemple, nous voulons regarder une pièce de monnaie. Une pièce de monnaie équitable a une probabilité égale de 1/2 de la tête ou de la queue. Nous jetons une pièce 1000 fois et enregistrons les résultats sur un total de 580 têtes et 420 queues. Nous voulons tester l'hypothèse à un niveau de confiance de 95% selon lequel la pièce que nous avons lancée est juste. Plus formellement, l'hypothèse nulle H0 est-ce que la pièce est juste. Étant donné que nous comparons les fréquences observées des résultats d'un tirage au sort aux fréquences attendues d'une pièce équitable idéalisée, un test du khi-deux devrait être utilisé.

Calculer la statistique du chi carré

Nous commençons par calculer la statistique du Khi-deux pour ce scénario. Il y a deux événements, têtes et queues. Heads a une fréquence observée de F1 = 580 avec fréquence attendue de e1 = 50% x 1000 = 500. Les queues ont une fréquence observée de F2 = 420 avec une fréquence attendue de e1 = 500.

Nous utilisons maintenant la formule pour la statistique chi-carré et voyons que2 = (F1 - e1 )2/e1 + (F2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.

Trouver la valeur critique

Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du Khi-deux. Puisqu'il y a deux résultats pour la pièce, il y a deux catégories à considérer. Le nombre de degrés de liberté est égal à un de moins que le nombre de catégories: 2 - 1 = 1. Nous utilisons la distribution du khi-deux pour ce nombre de degrés de liberté et voyons que20.95=3.841.

Rejeter ou ne pas rejeter?

Enfin, nous comparons la statistique du khi-deux calculée à la valeur critique du tableau. Depuis 25,6> 3,841, nous rejetons l'hypothèse nulle selon laquelle il s'agit d'une pièce équitable.

Exemple 2: Un juste meurt

Un dé juste a une probabilité égale de 1/6 de lancer un, deux, trois, quatre, cinq ou six. Nous lançons un dé 600 fois et notons que nous lançons un 106 fois, un 90 fois, un trois fois 98, quatre fois 102, cinq fois 100 et six fois 104. Nous voulons tester l'hypothèse à un niveau de confiance de 95% que nous avons un dé juste.

Calculer la statistique du chi carré

Il y a six événements, chacun avec une fréquence attendue de 1/6 x 600 = 100. Les fréquences observées sont F1 = 106, F2 = 90, F3 = 98, F4 = 102, F5 = 100, F6 = 104,

Nous utilisons maintenant la formule pour la statistique chi-carré et voyons que2 = (F1 - e1 )2/e1 + (F2 - e2 )2/e2+ (F3 - e3 )2/e3+(F4 - e4 )2/e4+(F5 - e5 )2/e5+(F6 - e6 )2/e6 = 1.6.

Trouver la valeur critique

Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du Khi-deux. Puisqu'il y a six catégories de résultats pour le dé, le nombre de degrés de liberté est égal à un de moins que ceci: 6 - 1 = 5. Nous utilisons la distribution du Khi-deux pour cinq degrés de liberté et voyons que20.95=11.071.

Rejeter ou ne pas rejeter?

Enfin, nous comparons la statistique du khi-deux calculée à la valeur critique du tableau. Étant donné que la statistique calculée du chi carré est égale à 1,6 et inférieure à notre valeur critique de 11,071, nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle.