Intéressant

Combien d'éléments sont dans la puissance?

Combien d'éléments sont dans la puissance?

L'ensemble de puissance d'un ensemble UNE est la collection de tous les sous-ensembles de A. Lorsque vous travaillez avec un ensemble fini avec n éléments, une question que nous pourrions poser est la suivante: «Combien y a-t-il d'éléments dans le jeu de pouvoir de UNE ? ”Nous verrons que la réponse à cette question est 2n et prouver mathématiquement pourquoi cela est vrai.

Observation du motif

Nous rechercherons un motif en observant le nombre d’éléments de la puissance de UNE, où UNE a n éléments:

  • Si UNE = {} (l'ensemble vide), puis UNE n'a pas d'éléments mais P (A) = {{}}, un ensemble avec un élément.
  • Si UNE = {a}, alors UNE a un élément et P (A) = {{}, {a}}, un ensemble avec deux éléments.
  • Si UNE = {a, b}, alors UNE a deux éléments et P (A) = {{}, {a}, {b}, {a, b}}, un ensemble avec deux éléments.

Dans toutes ces situations, il est facile de voir pour des ensembles avec un petit nombre d’éléments que s’il ya un nombre fini de n éléments dans UNE, puis la puissance P (UNE) a 2n éléments. Mais ce modèle continue-t-il? Juste parce qu'un motif est vrai pour n = 0, 1 et 2 ne signifie pas nécessairement que le modèle est vrai pour des valeurs plus élevées de n.

Mais ce modèle continue. Pour montrer que c'est bien le cas, nous allons utiliser la preuve par induction.

Preuve par induction

La preuve par induction est utile pour prouver des déclarations concernant tous les nombres naturels. Nous y parvenons en deux étapes. Pour la première étape, nous ancrons notre preuve en montrant une déclaration vraie pour la première valeur de n que nous souhaitons considérer. La deuxième étape de notre preuve consiste à supposer que la déclaration est valable pour n = k, et le spectacle que cela implique la déclaration est valable pour n = k + 1.

Une autre observation

Pour aider à notre preuve, nous aurons besoin d'une autre observation. Les exemples ci-dessus montrent que P ({a}) est un sous-ensemble de P ({a, b}). Les sous-ensembles de {a} forment exactement la moitié des sous-ensembles de {a, b}. Nous pouvons obtenir tous les sous-ensembles de {a, b} en ajoutant l'élément b à chacun des sous-ensembles de {a}. Cet ajout d’ensemble est réalisé au moyen de l’opération d’ensemble de l’union:

  • Ensemble vide U {b} = {b}
  • {a} U {b} = {a, b}

Ce sont les deux nouveaux éléments de P ({a, b}) qui n'étaient pas des éléments de P ({a}).

Nous voyons une occurrence similaire pour P ({a, b, c}). Nous commençons par les quatre ensembles de P ({a, b}), et à chacun d’eux nous ajoutons l’élément c:

  • Ensemble vide U {c} = {c}
  • {a} U {c} = {a, c}
  • {b} U {c} = {b, c}
  • {a, b} U {c} = {a, b, c}

Nous aboutissons donc à un total de huit éléments dans P ({a, b, c}).

La preuve

Nous sommes maintenant prêts à prouver que «si l'ensemble UNE contient n éléments, puis l'ensemble de puissance P (A) a 2n éléments."

On commence par noter que la preuve par induction est déjà ancrée pour les cas n = 0, 1, 2 et 3. On suppose par récurrence que l'énoncé est valable pour k. Maintenant, laissez l'ensemble UNE contenir n + 1 éléments. Nous pouvons écrire UNE = B U {x}, et voyez comment former des sous-ensembles de UNE.

Nous prenons tous les éléments de P (B), et par l'hypothèse inductive, il y a 2n de ceux-ci. Ensuite, nous ajoutons l'élément x à chacun de ces sous-ensembles de B, résultant en un autre 2n des sous-ensembles de B. Cela épuise la liste des sous-ensembles de Bet donc le total est 2n + 2n = 2(2n) = 2n + 1 éléments du jeu de puissance de UNE.