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Problèmes de comptage difficiles et solutions

Problèmes de comptage difficiles et solutions

Compter peut sembler une tâche facile à effectuer. En approfondissant le domaine des mathématiques connu sous le nom de combinatoire, nous réalisons que nous rencontrons de grands nombres. Depuis la factorielle apparaît si souvent, et un nombre tel que 10! est supérieur à trois millions, les problèmes de comptage peuvent se compliquer très rapidement si nous essayons d’énumérer toutes les possibilités.

Parfois, lorsque nous examinons toutes les possibilités que nos problèmes de comptage peuvent prendre, il est plus facile de réfléchir aux principes sous-jacents du problème. Cette stratégie peut prendre beaucoup moins de temps que d’essayer la force brute d’énumérer un certain nombre de combinaisons ou de permutations.

La question "De combien de façons peut-on faire quelque chose?" est une question entièrement différente de "Comment peut-on faire quelque chose?" Nous verrons cette idée à l’œuvre dans l’ensemble suivant de problèmes de comptage difficiles.

La série de questions suivante implique le mot TRIANGLE. Notez qu'il y a un total de huit lettres. Disons que les voyelles du mot TRIANGLE sont AEI et que les consonnes du mot TRIANGLE sont LGNRT. Pour un vrai défi, avant de lire davantage, jetez un œil à une version de ces problèmes sans solution.

Les problèmes

  1. De combien de façons peut-on organiser les lettres du mot TRIANGLE?
    Solution: Ici, il y a un total de huit choix pour la première lettre, sept pour la seconde, six pour la troisième et ainsi de suite. Par le principe de multiplication, on multiplie pour un total de 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 façons différentes.
  2. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans cet ordre exact)?
    Solution: Les trois premières lettres ont été choisies pour nous, nous laissant cinq lettres. Après RAN, nous avons cinq choix pour la lettre suivante, suivis de quatre, puis de trois, puis de deux, puis d’un. Selon le principe de multiplication, il y a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 façons de classer les lettres d’une manière spécifiée.
  3. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n’importe quel ordre)?
    Solution: Considérez ceci comme deux tâches indépendantes: la première en arrangeant les lettres RAN et la seconde en arrangeant les cinq autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d'organiser RAN et 5! Façons de classer les cinq autres lettres. Donc, il y a un total de 3! x 5! = 720 façons d'organiser les lettres de TRIANGLE comme spécifié.
  4. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n’importe quel ordre) et que la dernière lettre doit être une voyelle?
    Solution: Considérez ceci comme trois tâches: la première qui arrange les lettres RAN, la seconde qui choisit une voyelle parmi I et E, et la troisième qui arrange les quatre autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d’organiser le RAN, 2 façons de choisir une voyelle parmi les lettres restantes et 4! Façons de classer les quatre autres lettres. Donc, il y a un total de 3! X 2 x 4! = 288 façons d’arranger les lettres de TRIANGLE comme spécifié.
  5. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n'importe quel ordre) et les trois lettres suivantes doivent être TRI (dans n'importe quel ordre)?
    Solution: Encore une fois, nous avons trois tâches: la première en arrangeant les lettres RAN, la seconde en arrangeant les lettres TRI et la troisième en arrangeant les deux autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d'organiser RAN, 3! façons d'organiser TRI et deux façons d'organiser les autres lettres. Donc, il y a un total de 3! x 3! X 2 = 72 façons d’arranger les lettres de TRIANGLE comme indiqué.
  6. Combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l'ordre et le placement des voyelles IAE ne peuvent pas être changés?
    Solution: Les trois voyelles doivent être conservées dans le même ordre. Maintenant, il y a cinq consonnes à organiser. Cela peut être fait en 5! = 120 façons.
  7. Combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l'ordre des voyelles IAE ne peut pas être modifié, bien que leur emplacement puisse être modifié (IAETRNGL et TRIANGEL sont acceptables mais EIATRNGL et TRIENGLA ne le sont pas)?
    Solution: Ceci est mieux pensé en deux étapes. La première étape consiste à choisir les endroits où vont les voyelles. Ici, nous choisissons trois places sur huit, et l'ordre dans lequel nous procédons n'est pas important. Ceci est une combinaison et il y a un total de C(8,3) = 56 façons d'effectuer cette étape. Les cinq lettres restantes peuvent être arrangées en 5! = 120 façons. Cela donne un total de 56 x 120 = 6720 arrangements.
  8. Combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l’ordre des voyelles IAE peut être modifié, bien que leur placement ne puisse pas l'être?
    Solution: C'est vraiment la même chose que le n ° 4 ci-dessus, mais avec des lettres différentes. Nous organisons trois lettres en 3! = 6 façons et les cinq autres lettres sur 5! = 120 façons. Le nombre total de voies pour cet arrangement est 6 x 120 = 720.
  9. Combien de manières différentes peut-on organiser les six lettres du mot TRIANGLE?
    Solution: Puisqu'on parle d'un arrangement, c'est une permutation et il y a un total de P(8, 6) = 8! / 2! = 20 160 voies.
  10. Combien de manières différentes peut-on organiser six lettres du mot TRIANGLE s’il doit y avoir un nombre égal de voyelles et de consonnes?
    Solution: Il n'y a qu'un seul moyen de sélectionner les voyelles que nous allons placer. Le choix des consonnes peut se faire en C(5, 3) = 10 voies. Il y en a alors 6! façons d'organiser les six lettres. Multipliez ces chiffres ensemble pour obtenir le résultat de 7200.
  11. Combien de façons différentes peut-on organiser les six lettres du mot TRIANGLE s’il doit y avoir au moins une consonne?
    Solution: Chaque arrangement de six lettres remplit les conditions, donc il y a P(8, 6) = 20,160 voies.
  12. Combien de manières différentes peut-on organiser les six lettres du mot TRIANGLE si les voyelles doivent alterner avec des consonnes?
    Solution: Il y a deux possibilités, la première lettre est une voyelle ou la première lettre est une consonne. Si la première lettre est une voyelle, nous avons trois choix, suivis de cinq pour une consonne, deux pour une deuxième voyelle, quatre pour une deuxième consonne, une pour la dernière voyelle et trois pour la dernière consonne. On multiplie ce nombre pour obtenir 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Par arguments de symétrie, il existe le même nombre d'arrangements qui commencent par une consonne. Cela donne un total de 720 arrangements.
  13. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE?
    Solution: Comme nous parlons d'une série de quatre lettres sur un total de huit, l'ordre n'a pas d'importance. Nous devons calculer la combinaison C(8, 4) = 70.
  14. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE qui a deux voyelles et deux consonnes?
    Solution: Ici, nous formons notre ensemble en deux étapes. Il y a C(3, 2) = 3 façons de choisir deux voyelles sur un total de 3. Il y a C(5, 2) = 10 façons de choisir des consonnes parmi les cinq disponibles. Cela donne un total de 3x10 = 30 ensembles possibles.
  15. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE si nous voulons au moins une voyelle?
    Solution: Ceci peut être calculé comme suit:
  • Le nombre de séries de quatre avec une voyelle est C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
  • Le nombre de séries de quatre avec deux voyelles est C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
  • Le nombre de séries de quatre avec trois voyelles est C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Cela donne un total de 65 ensembles différents. Alternativement, nous pourrions calculer qu’il ya 70 façons de former un ensemble de quatre lettres quelconques, et soustraire le C(5, 4) = 5 façons d'obtenir un ensemble sans voyelles.